10.2 Homogene Funktionen

Eine Funktion $f:{ℝ}^n\mapsto ℝ,\vec{x}\mapsto f\left(\vec{x}\right)$ heißt homogen vom Grad $h\in ℝ$, wenn für alle $\vec{x}\in {ℝ}^n$ gilt:

$$f\left(k\vec{x}\right)=k^{h}f\left(\vec{x}\right)\text{für alle}k\in {ℝ}_0^{+}$$

Multipliziert man die Inputvariablen $\vec{x}{\sum <!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->}_i^b$ mit einer positiven Zahl $k\ge 0$, so wird der Funktionswert mit dem Faktor $k^h$ multipliziert.

Homogene Funktionen haben besondere Eigenschaften, die im folgenden kurz aufgezählt und auf den folgenden Seiten für Funktionen von zwei Variablen veranschaulicht werden. Für homogene Funktionen gelten insbesondere die folgenden beiden Theoreme:

$$f\left(\vec{x}\right)\text{ist homogen vom Grad}h\iff x_1\frac{\partial }{\partial x_1}f\left(\vec{x}\right)+...+x_n\frac{\partial }{\partial x_n}f\left(\vec{x}\right)=\mathit{hf}\left(\vec{x}\right).$$

$$f\left(\vec{x}\right)\text{ist homogen vom Grad}h\Rightarrow \frac{\partial }{\partial x_i}f\left(\vec{x}\right)\text{ist homogen vom Grad}h-1\text{ für alle }i.$$